OddsとProportionの関係

オッズ(Odds)と有病割合(Prevalence)

$$Odds＝\frac{病気の人の人数}{病気でない人の人数}$$

$$Prevalence = \frac{病気の人の人数}{集団の人数}$$

Prevalenceは、全体の数が分母にくるため一般的に理解しやすい。が、Oddsは、病気でない人が分母にくるため、ちょっと特殊。

OddsとPrevalenceの関係

有病割合が十分に低ければ、オッズと有病割合は近似できる。実際にグラフで見てみると、1万人の集団で、患者数を1人から増やし行く場合の、OddsとPrevalenceの関係は、

dat <- tibble(
  dx = 1:8000,
  tot = 10000
) %>% 
  mutate(nondx = tot - dx)

gdat <- dat %>% 
  mutate(
    odds = dx/nondx,
    prevalence = dx/tot
  ) %>% 
  pivot_longer(cols = c(odds, prevalence))

gg <- ggplot(gdat) +
  geom_line(aes(x = dx, y = value, color = name)) +
  scale_color_discrete(name = NULL) +
  labs(x = "病気の人の数", y = "値") +
  ggthemes::theme_tufte()

gg

ここで、Prevalenceが十分に小さければ、

$$Prevalence \approx Odds$$

と近似できる。

gg + coord_cartesian(xlim = c(0,2000), ylim = c(0,1)) +
  geom_vline(xintercept = 1000, linetype = "dashed")

特に、prevalenceが0.1までの範囲であれば、かなり良い近似(グラフの点線)